Эйнштэйний тэгшитгэлүүд.

Эйнштэйний тэгшитгэлүүд нь Харьцангуй ерөнхий онолын яалтчгүй гол чухал хэсэг нь юм.

Эдгээр тэгшитгэлүүд нь орон зай цаг хугацаа болон материйн хоорондын харилцан уялдааг математикын хэл ашиглан харуулснаараа онцлог.

Илүү дэлгэрэнгүйгээр, Риманы геометрийн тусламжтайгаар тодорхойлогдсон бөгөөд орон зайн геометрийн шинж чанар нь метрик хэмээх физик хэмжигдэхүүнээр тодорхойлогддог.

Метрик нь Муруй гадаргуйн зай болон өнцгийн үндсэн геометр ойлголтыг тооцоолоход хэрэгцээтэй мэдээллийг агуулдаг. 

Манай дэлхийтэй адил бөмбөрцөг гадаргуй нь үүнийг тайлбарлахад илүү ойлгомжтой жишээ юм. Уг гадаргуй дээр оршин дурын цэг нь хоёр координатын тусламжтайгаар тодорхойлогддог ба эдгээр нь өргөрөг болон уртраг юм. Мөн уг гадаргууд бидний мэдэх хавтгай гударгуйн Дикартын координатын системээс ялгаатай координатын систем үйлчилдэг, координатын зөрүү нь гадаргуу дээрх зайн өөрчлөлттэйгээ ижил биш(Зураг). 

2 өөр уртраг дахь 2 бие, өргөрөгийн дагуу 30 градус шилжих зайн хамаарлууд.

Зурагт үзүүлснээр: экваторт орших хэн нэгэн өргөрөгийн дагуу баруун зүгт 30 градус шилжихэд нийт шилжилт нь 3300км байна. Нөгөө талаас, уртрагийн 55градуст орших өөр хэн нэгэн мөн адил өргөрөгийн дагуу баруун зүгт 30градус шилжихэд нийт шилжилт нь ойролцоогоор 1900км байна. Тиймээс координатууд нь бөмбөрцөг гадаргуйн геометрийг тодорхойлоход шаардлагатай хангалттай мэдээллүүдийг өгч чаддаггүй гэсэн үг юм. Мөн түүнчлэн дан ганц бөмбөрцөг хэлбэрийн гадаргуй гэлтгүй өөр бусад хэлбэрийн муруй гадаргуйг судаллахад ч хангалттай мэдээллийг өгч чаддаггүй. Харин энэхүү тохиолдолд бидэнд хэрэгтэй мэдээлэл нь гадаргуйн цэг бүрт тодорхойлогдсон функц болох метрикт агуулагдаж байдаг. Мэдээж бусад геометрийн чухал хэмжигдэхүүнүүд болох мухуйн урт, муруйлт хоорондын өнцөг зэрэг нь метрик функцын тусламжтайгаар тодорхойлогддог.

Метрик болон түүний нэг цэгээс нөгөө цэгт өөрчлөгдөх өөрчлөлт нь Риманы муруйлтын тензор хэмээх хэмжигдэхүүнийг тодорхойлох ба энэ нь орон зай цаг хугацаа нь огторгуй цэг бүрт хэрхэн муруйж байгааг тодорхойлдог. 

Харьцангуй ерөнхий онолд, Метрик болон Риманы муруйлтын тензорууд нь орон зай цаг хугацааны цэг бүрт нарийн тодорхойлогддог хэмжигдэхүүнүүд юм. 

Материйн мөн чанар нь энерги-импульсийн тензор Т, хэмээх өөр нэгэн физик хэмжигдэхүүнийг тодорхолдог ба матери хэрхэн хөдлөхийг орон зай цаг хугацаа хэлдэг, орон зай цаг хугацаа хэрхэн муруйж буйг матери хэлдэг 

Manifold

     Manifolds are one of the most fundamental concepts in Math and Physics. The informal idea of manifold is that of a space consisting of patches that "looking like locally R^n", and "smoothly sewn together". A crucial point is that the dimensionality,n, of the Euclidean space being used must be the same in every patches of the manifold; we then say that the manifold is of dimension n. 

Examples of manifolds include:

• R^n itself, including the line(R), the plane (R^2), and so on. 
• The n-sphere, S^n. This can be defined as the locus of all points some fixed distance from the origin in R^(n+1). The circle is of course S^1, and the two-sphere is S^2 is one of the most useful examples of manifold. We say that the S^0 is a disconnected zero-dimensional manifold. It is worth emphasizing that the definition of S^n in terms of an embedding in R^(n+1) is simply a convenient shortcut; 
• The n-torus T^n results from taking an n-dimensional cube and identifying opposite sides. The two-torus T^2 is a square with opposite sides identified, as shown in Figure 2.5. The surface of a doughnut is a familiar example. 
• A Riemann surface of genus g is essentially a two-torus with g holes instead of just one, as shown in Figure 2.6. For example, S^2 may be thought of as a Riemann surface of genus zero, every "compact orientable boundryless" two-dimensional manifold is a Riemann surface of some genus.

Note: The original picture of this picture is in the book named "An introduction to General relativity spacetime  geometry by Sean M.Carrol" 

• More abstractly, a set of continuous transformation such as rotations in R^n forms a manifold. Lie groups are manifolds that also have a group structure. So for example SO(2), the set of rotation in two dimensions, is the same manifold as S^1.
• The direct product of two manifold is a manifold. This is a given manifolds M and M' of dimension n and n', we can construct a manifold MxM' of dimension n+n', consisting of ordered pairs (p,p') with p in M and p' in M'. 

Final note: Here I just copied the main idea of manifold with some example from the book of Sean M.Carrol while I am reading this book for my own studying. Therefore also I would like to recommend you that once you are interested in this field may you should read that book, then you will get the more understanding about what is a manifold? and other related things. 

Before Yesterday...

THE ORIGIN OF MASS:

The origin of mass is the one of the greatest mystery of science.

What exactly is mass?

May it seems like simple question?

But knowing the answer will provide us much more complete understanding of how the universe works. To get these answers we must go back to the very beginning of the Big Bang.

In the first few moment after the Big Bang,  four forces of nature were all indistinguishable and huge inflationary expansion took place increasing the size of universe to unimaginable proportions.

In this extremely hot conditions the fundamental particles begin the form with around the speed of light. Only small fractions of second latter some these particles require the mass and allowed the formation of the universe we know up today.

THE STANDARD MODEL:

The Standard model of elementary particles make up the known universe. They divided into groups called Leptons, Quarks and Gauge bosons.

The leptons consist of the atomic electron and its two larger cousins the Muon, and the Tau and as well as three types of neutrino. The quark group consists of Up and Down quarks which make up constitution of Protons and Neutrons as well as their larger cousins the Charm, Strange, Top and Bottom quarks. The Gauge bosons consist of carrier particles for the three of fundamental forces of nature. This includes Photon, Gluon and W and Z bosons.

Finally we come to the yet undiscovered Higgs boson. According to standard model, all the elementary particles should be massless.

The FACT is here how these particles attain the mass is called Higgs mechanism.

HIGGS MECHANISM:

Here is the simple demonstration of how the Higgs mechanism functions. It states there is the scalar Higgs field which permeates all particles of universe. The particles with no mass such as the photon do not interact with the Higgs field at all. Maintaining their kinetic energy and passing through at the speed of light. The particle with mass such as quark interacts with Higgs field which slows it down and converges some of its kinetic energy until we know of its mass. In order to proof this presence of the Higgs field, Higgs boson must be created and detected. This however has been proven to be a difficult task as the Higgs boson is predicted to be a massive particle requiring huge amounts of energy to produce.

THE ATLAS DETECTORS:

The Atlas detectors are tool of detecting the Higgs. It is in CERN in Geneva, Switzerland and we use to detect high energy collisions produced by LHC. The length is 44m long, 25m diameter weight is 7000tonns. Two beams of protons will be accelerated in opposite directions close to speed of light, collided at center of Atlas. How do you create massive particles such as Higgs from the only two small protons? This comes down to Einstein's famous equation, E=mc^2 which tells us the mass is the just another form of the energy like speeding up protons they require additional kinetic energy. The protons at the LHC are accelerated to 99.999999% speed of light and require total energy of 7TeV. This combines with energy of the other proton traveling in the other direction produces collision with the energy of 14TeV. Upon the collision all this energy becomes hundreds of different kinds of particles. It is at least conditions which it is exit Higgs boson will be created by LHC and detected by Atlas.

Finding the Higgs revolutionize understanding of origin of mass help lead us to unrevealing the other great mysteries of the universe.

 By Gansukh TG.

Higgs boson.

Хигс босон гэж???

Анх 1964 онд Английн онолын физикч Peter Ware Higgs, сул харилцан үйлчлэл дэх тэгш хэмийн эвдрэлийн талаар олон нийтэд танилцуулж үүгээрээ эгэл бөөмсийн массын тухай ойлголтыг тайлбарласанаар эдгээр өдрүүдэдийн жинхэнэ баатар болж буй нэгэн юм.

Өөрөөр хэлбэл тэрээр ямар нэг гадны нөлөөгөөр бус өөрөө аяндаа эвдрэх тэгш хэмийн эвдрэл нь физикийн тулгуур харилцан үйлчлэлийг дамжуулагч бөөм(gauge boson)-ийн массын үүсгүүр байж болохыг Kibble, Guralnik, Hagen , Englert нарын хамтаар судалж ерөнхийлөн томъёолсон нь эдүгээ Хигс механизм хэмээн нэрлэгддэг. Хигс механизм нь физикийн тулгуур харилцан үйлчлэлийг дамжуулагч нэгэн төрлийн бөөм(Хигс босон)-ийн оршихуйн талаарх таамагийг дэвшүүлдэг гэж бас ойлгож болно. 

Ийнхүү энэхүү Хигс босоныг нээн илэрүүлэх туршилтын ажил сүүлийн 45жилийн турш тасралтгүй хийгдсэний эцэст амжилттай болсон байж болохыг өчигдөр буюу 2012оны 7сарын 4ний өдөр Европын Холбооны Цөмийн Судалгааны Хүрээлэнгээс (CERN) мэдэгдсэн нь багш (МУИС-ийн проф багш Х.Цоохүү) бид 2-ын төдийгүй олон олон хүмүүсийн хоорондын маргааныг (http://www.firstpost.com/tech/how-stephen-hawking-lost-100-on-higgs-boson-368098.html)  нэг мөр эцэслэн шийдвэрлэсэн хэрэг боллоо. Гэхдээ энэхүү олдоод байгаа бөөм жинхэнэ Хигс бөөм үү? эсвэл өөр төрлийн бөөм үү? гэдгийг эрдэмтэдийн цуглуулсан туршилтын дата нь дээр тулгуурлан  энэ оны сүүл гэхэд тодорхой болох учиртай хэмээн албаны хүмүүс мэдээлж байгаа.

auge(координатийн локаль хувиргалтанд Лагранжиан инвариант байх)